Faculté des sciences Département de physique théorique _______________________________________________________________ Les Cordes Cosmiques dans le ${}^4He$ superfluide Ivan Dimitrijević Travail de licence effectué sous la direction de Dr A.J.Gill et Dr M. Droz 1997 _______________________________________________________________ Introduction Le mécanisme de formation de structures à grande échelle, comme les galaxies, est d’un grand interêt pour la cosmologie. Certaines hypothèses sur cette formation sont très difficiles à vérifier expérimentalement. Un des scénarios possible implique la création de défauts topologiques. Après le big bang, au temps de $10^{-34}s$, l’univers naissant a subi une ou plusieurs transitions de phase qui ont engendré des brisures de symétrie transformant des états ordonnées en états desordonnées. On a émis l’hypothèse que ces transitions de phase ont provoqués les défauts topologiques et l’inflation de l’univers. 1 Une forme particulièrement intéressante de défauts est les défauts linéaires, soit les cordes cosmiques. Les cordes cosmiques se forment quand il y a une brisure de symétrie axiale ou cylindrique. Zel’dovich2 a proposé que les cordes cosmiques produisaient des perturbations de densité qui pouvaient servir de germes pour la condensation gravitationnelle de la matière. Cette idée a été développée par Vilenkin3, 4 et Kibble5. La densité de cordes est l’unique grandeur expérimentale que l’on puisse mesurer qui nous renseigne sur l’évolution du champ de Higgs juste après le big bang, qui nous aide à simuler la formation des galaxies. Les systèmes quantiques hors équilibre en matière condensée sont les plus appropriés à l’étude phénoménologique, parce qu’ils sont maniables dans un laboratoire. La majorité des systèmes qu’on étudie (supraconducteurs, superfluides, alliages binaires) parviennent dans leurs états antisymétriques à travers d’une transition du deuxième ordre. Le seul système étudié expérimentalement pour la formation des défauts topologiques qui subit une transition de phase du premier ordre sont les cristaux liquides dans la phase nématique. Parmi ces nombreux candidats, le système adéquat pour comprendre la dynamique de formation des défauts est le ${}^4He$. La raison en est simple: le ${}^4He$ ne peut produire qu’un seul type de défaut, les tourbillons. Lors de la transition du deuxième ordre entre ${}^4He$ normal (HeI) et ${}^4He$ superfluide (HeII), qui peut être très rapide lors d’une décompression rapide, le groupe de symétrie U(1) est brisé et on observe des défauts topologiques en forme de filaments tourbillonnaires. Les tourbillons quantifiés peuvent être assimilés à au moins un type de cordes cosmiques. Ainsi le ${}^4He$ est un “laboratoire” qui nous permettra de vérifier nos hypothèses sur la formation des cordes cosmiques. 2 La formation des défauts Revenons à la question de la densité des cordes après la transition. Un scénario de formation de cordes cosmiques a été proposé par Kibble6 en 1976. On appelle ce scénario le “mécanisme de Kibble” et il postule que la création des cordes cosmiques implique le aggrandissement du champ de Higgs Φ lors d’une transition de phase hors-équilibre rapide induite par la chute de temperature de l’Univers en expansion. Après la transition de phase, le champ prend des valeurs non-nulles, mais avec un décalage de phase entre diverses régions séparées par l’horizon de causalité qui est plus petit ou égal à ct. Les défauts linéaires se forment sur les bords de ces régions car si on suit un circuit fermé (tel que sur la figure 1), on remarque que la phase change de 2πn, n entier. On dit que le champ est nul au moins une fois dans le circuit, donc il existe au moins un défaut par circuit. Fig. 1 La formation de cordes selon le mécanisme de Kibble. L’inconvénient du mécanisme de Kibble est qu’il ne nous donne pas l’échelle à laquelle la formation des défauts apparaît. Il dépend en effet de la température comme critère, ce qui est incompatible avec un système hors-équilibre. Kibble avait de plus postulé que la densité de défauts serait déterminée par la longueur de corrélation du champ ξG à TG ≃ 1.5K, la température de Ginzburg. L’enchevètrement de cordes gèle dans une configuration stable à TG, les fluctuations thermiques n’étant plus suffisamment fortes pour reconfigurer les défauts. L’autre hypothèse s’appelle le “scénario de Zurek” [?], qui s’applique seulement aux transitions du deuxième ordre. Il faut préciser que le mécanisme de Kibble reste valable pour les deux types de transition de phase, tandis que le scénario de Zurek est valable uniquement pour les transitions du deuxième ordre. L’essentiel du scénario de Zurek est que la densité de défauts va dépendre de la vitesse à laquelle la transition de phase se produit. Le champ va être incapable de s’“adapter” complètement pendant le passage dans le région de transition et l’échelle temporelle, pendant laquelle le champ reste dans ce régime indefini, va déterminer la longeur de corrélation ξ(TZ) et la densité de défauts.7 Autrement dit, la densité de défauts va être plus petite (grande) si le temps de passage par la région de transition, τQ, est plus long (court). L’idée de Zurek était d’utiliser le 4He pour simuler la formation des cordes et de nous fournir des informations sur la taille de l’horizon de causalité formé lors du gel des défauts. Son raisonnement était que si on fait subir à un échantillon de 4He une transition λ, on peut indirectement observer la densité de défauts en mesurant le secon son.8 Pour vérifier le scénario de Zurek9, une expérience à été montée a Lancaster University10. Un échantillon d’ 4He de 10-3 kg de haute pureté (pour assurer que les défauts n’étaient pas dûs à la nucléation des impuretés) ést placé dans un soufflet fait d’un alliage phosphore-bronze. Le soufflet est comprimé et on laisse échantillon atteindre l’équilibre thermique avant de relâcher le soufflet qui se dilate de 4mm en 3ms. La température et la pression sont mesurés et la densité de tourbillons est mesurée indirectement par atténuation du second son. Le second son est une onde dans laquelle les densités ρn (fluide normal) et ρs (superfluide) oscillent en opposition de phase, de sorte que leur somme reste constante. Bien que l’expérience de Lancaster a soutenu le scénario de Zurek, il reste des problèmes non résolus. L’apparition des tourbillons lors des decompressions rapides dans la phase superfluide, mais juste en-dessous de la transition, est mal comprise et mal expliquée. On appelle ce phénomène les tourbillons sous-critiques (sous-Tc), car ils apparaissent dans une région du diagramme de phase ou on ne s’attend pas à observer la production de tourbillons. Les idées présentées dans le but de résoudre cette énigme des tourbillons sous-critiques devraient être vérifiées par de nouvelles expériences (modifications sur l’expérience à Lancaster, expérience semblable à Helsinki avec 3He). La première idée était que la forme même des parois du soufflet était responsable de la turbulence pendant la décompression. La deuxième idée était que les fluctuations thermiques de ϕ provoquaient les tourbillons sous-critiques ; malheureusement cette idée fournissait des valeurs miniscules pour la densité des défauts. La troisième idée, et la plus récente11, est celle des jets du superfluide dans la cellule de l’expérience. Le capillaire qu’on utilise pour remplir la cellule de superfluide doit être long pour assurer l’isolation thermique. Il possède une valve au bout. Le changement brusque de la pression provoque un jet de fluide du capillaire dans l’échantillon. Les fluctuations thermiques à leur tour sont amplifiées par le jet, produisant les tourbillons sous-critiques. 3 Modèle de Ginzburg-Landau pour 4He L’ hélium 4 subit une transition de phase à la température de Tc = 2.18K [?]. C’est une transition de deuxième ordre aussi appelé transition λ, en raison de l’allure la courbe de la chaleur spécifique cp autour de Tc. Les propriétés de HeII sont assez étonnantes. La conductivité thermique est infinie, la viscosité est nulle, le liquide ne se condense pas (mais il s’évapore), il grimpe les parois d’un capillaire de diamètre défini, etc. Pour construire un modèle du superfluide, on utilise la théorie de Ginzburg-Landau des transitions de phase que l’on applique à la transition λ. Le potentiel est donné par (1) ou β = const. et (2) avec ξ = , ε = 1 - T _ Tc. Dans notre cas on choisit ν = 0.5. La variable ξ est la longueur de corrélation dans le champ complexe ϕ. L’allure de V (ϕ,T) est un chapeau mexicain. Fig. 2 La forme de V (ϕ,T < Tc), et le champ d’un défaut. Les minima sont calculés à partir du minimum de V (ϕ,T), A l’équilibre thermique ⟨|ϕ|2⟩ = ϕ 0 = σ. La propriété qui nous permet de faire des comparaisons entre les transitions de phases dans l’univers primordial (hautes énergies) et les phénomènes dans les systèmes en matière condensée est la propriété mathématique que ces deux systèmes ont en commun: le comportement du paramètre d’ordre autour de Tc.12 Dans la théorie générale des transitions des phases du deuxième ordre, ϕ caractérise les propriétés de symétrie du système. Donc, dans notre cas le paramètre d’ordre ϕ est souvent considéré comme étant la fonction d’onde du condensé de Bose: Le mécanisme de Kibble concerne le champ de Higgs Φ, qui est l’analogue à l’échelle cosmologique du paramètre d’ordre ϕ. Le lagrangien pour ϕ s’obtient en ajoutant des termes cinétiques aux termes de l’ énergie potentielle: (3) ou m est la masse de 4He. La densité du superfluide étant donnée par ρ s = m|ϕ|2. Les équations de Euler-Lagrange nous fournissent les équations de mouvements pour ϕ: (4) Ceci donne comme résultat et L’équation obtenue est: (5) que l’on peut aussi écrire (6) Une propriété du 4He au dessous de T c est que dans certaines régions, coexiste un mélange d’état normal (HeI) et superfluide (HeII). Ceci donne lieu à un mouvement dans la partie superfluide; plus précisément, dû au fait que la phase θ change dans la partie superfluide, on a une vitesse vs = ℏ m∇θ, avec énergie cinétique du tourbillon T = 1 2ρsvs2. On peut aussi dire que le terme ∇2ϕ fait en sorte de “bouger” le champ pour maintenir θ constant. 4 Le comptage des défauts L’approximation du champ moyen (Gaussien ou Hartree)nous donne que L’équation du mouvement s’écrit donc: ou bien On pose que (7) et on obtient une équation aux valeurs propres (8) La densité des cordes en champ Gaussien est donnée comme (9) ou G(r) est la solution de l’équation aux valeurs propres. La fonction de Green G(r) s’obtient en calculant la transformée de la fonction de Green, (k). Pour faire ceci on fait subir á l’équation aux valeurs propres une transformée de Fourrier: (10) L’intégrale à droite de l’égalité est simplement (k). Pour calculer la partie gauche on étudie d’abord l’analogue en une dimension: La fonction ϕ(x) est à décroissance rapide, donc les premiers termes s’annulent aux bords (à ±∞), ce qui ne laisse que le terme -k2 (k). Dans le cas tridimensionnel l’équation (10) devient: En termes de fonctions de Green: La fonction de Green, (11) nous donne, (12) Pour calculer cette intégrale on utilise la symétrie du vecteur k (une fois r fixé le long de l’axe z) pour déduire que: Cette intégrale est donnée dans les tables [?] comme égale à: (13) Pour trouver la densité de défauts on calcule la deuxième dérivée, On obtient donc la solution pour cette densité de cordes: (14) Il est évident que les deux derniers termes divergent en r = 0. Il s’agit de discuter plus en détail ce problème de divergence. En faisant une simple analogie avec la météorologie, on peut comparer notre échantillon de 4He qui subit une transition de phase avec formation de tourbillons dans un cyclone tropical. Dans ces cyclones une importante masse nuageuse se forme en bandes spirales enroulées autour d’un centre: l’oeil du cyclone. Les propriétés (dynamiques et thermodynamiques) des cyclones sont distribuées asymétriqument autour du tourbillon central et ceci provoque un mouvement tourbillonnaire de l’air. L’oeil peut être comparé à notre corde. A l’intérieur de la masse nuageuse on peut avoir des mini-cyclones (structures qui, sur une échelle plus petite, imitent le cyclone entier) qui apparaissent et disparaissent. Remarquons que sur les photos satellites, dont l’échelle est la longueur de cohérence de structures, on n’observe qu’une grande formation, le cyclone lui-même, et pas les petits mini-cyclones. Autrement dit, pour pouvoir calculer une densité de cordes valable par élément de volume (k2 sin θ dθ dφdk) on doit tenir compte de la longueur de cohérence des structures. Il faut négliger les structures plus petites que la longueur de corrélation ξ; on préfère ne compter que les tourbillons cohérents qui persistent, et non pas les fluctuations de petite échelle. Dans notre intégrale ceci veut dire que les valeurs de k ne doivent pas être trop grandes, donc k < . Mathématiquement ceci veut dire que l’élément de volume augmente avec les valeurs de k grandes. Il faut donc considérer une nouvelle approche. On va d’abord discuter du caractère de cette intégrale. Au lieu de calculer analytiquement G(r) pour ensuite insérer le résultat dans la formule pour ⟨n⟩, on insère directement l’intégrale dans la formule en faisant tendre r vers 0: Il faut encore introduire la notion du “smoothing”, une fonction qui va limiter les valeurs de k à des valeurs qui ne dépassent pas k < . La question se pose: comment faire un “smoothing” satisfaisant? On essaye avec une fonction exponentielle de carré décroissante (gaussienne), e-(kξ)2: Ceci va nous donner l’expression suivante pour la densité des défauts: Pour résoudre notre intégrale on utilise des méthodes de l’analyse complexe.13 Tout d’abord on remarque que le numérateur est composé de deux fonctions impaires (k et sin(kr)) et d’une fonction paire e-(kξ)2. Le numérateur est donc pair et on peut écrire: Définissons avec z = Reiϕ, un nombre complexe. A la fin des calculs on ne prend que la partie imaginaire du résultat car eirz = cos(rz) + i sin(rz). On applique à présent ces méthodes à notre intégrale, qui est maintenant de la forme: Le contour C qu’on choisi est le demi-cercle supérieur γ (qui entoure la singularité z0 = iλ) et l’axe x de -R à R. On va nommer ces deux intégrales Iγ et IR. IC = 2πiRes(f,z0 = iλ) par le théorème des résidus. Donc, Le calcul de IR est simple maintenant; il suffit de montrer que Iγ tend vers 0 pour ±R →∞, ce qu’on démontre dans l’appendice avec l’aide du lemme de Jordan. Voilà nous sommes arrivés à notre résultat pour la fonction de Green “lisse” (“smooth”): Avec cette nouvelle valeur pour G(r) qu’on a noté (r), on refait le calcul pour la densité des défauts. Quelle surprise! C’est en fait le seul terme non-divergent dans notre équation précédente. Les termes en et ont disparu. Si on prend ξ0 = 5, 6 Å, ϵZ = 3 × 10-3 (la valeur à T Z obtenue par le groupe de Lancaster) et π = 3.14 la valeur approximative est ce qui donne un défaut par 10-15 m2. La prediction de Kibble était ce qui diffère de notre valeur à T = 0K de . La limite inférieure obtenue par le groupe de Lancaster est: 5 Corrélation des défauts Les fonctions de corrélation de la densité de défauts peuvent nous donner des informations sur la longueur des tourbillons sous-critiques. Plus précisement, selon le mécanisme de Kibble, les tourbillons sous-critiques peuvent être générés après des fluctuations thermiques. Les résultats de nos calculs doivent nous dissuader de cette idée car l’expérience de Lancaster montre que l’existence des défauts d’une grande longueur est peu probable dans les régions sous-critiques, donc ce ne sont pas les fluctuations thermiques qui sont à la base des tourbillons sous-critiques. Les éléments de matrice de la fonction de corrélation sont donné par l’expression suivante: (15) Les deux termes GL (corrélations longitudinales) et GT (corrélations transversales) sont calculé à partir d’une fonction h telle que, Les résultats pour nos composantes longitudinales et transversales de la fonction de corrélation en deux points sont donnés ci-dessous. GL nous donne la longueur caractéristique des segments linéaires des tourbillons. Une valeur négative de GL indique la présence d’une paire de tourbillon-antitourbillon à une distance r l’un de l’autre. GT nous donne la probabilité qu’il existe un tourbillon (ou antitourbillon) dans la même direction à une distance r. Il faut tout de suite remarquer que toute valeur de GL et GT calculée pour r < ξ ne devrait pas être prise en compte, pour la même raison qu’auparavant.14 Pour mieux comprendre l’utilité de ces fonctions de corrélation, il suffit de remarquer que si on divise GT par ⟨n⟩2 on obtient la probabilité de trouver un autre tourbillon à la distance r. Celle-ci est de signe négatif, ce qui signifie un antitourbillon (un tourbillon avec une rotation en sens inverse). La probabilité de trouver un tourbillon par longueur de corrélation ξ est donnée dans l’estimation suivante (ξ2 = ): La densité de défauts n’est donc pas très grande, car il n’existe que des tourbillons de la dimension de la longeur de corrélation, et il n’apparaît qu’un tourbillon par trois domaines de taille ξ. Pour calculer la probabilité de l’échelle à laquelle les tourbillons dévient, on divise GL par ⟨n⟩2 : Le tourbillon dévie sur une échelle de la dimension ξ(T). De ces résultats, on peut conclure que la production de tourbillons lors d’une décompression dans une région légèrement en-dessous de la transition (sous-critique) n’est pas dûe à des effets de fluctuation thermique. La densité de tourbillons produits par les fluctuations thermiques serait inferieure à la densité observée. Le fait que la longueur caractéristique des tourbillons est de l’ordre ξ nous indique qu’il n y a plus d’enchevètrement des tourbillons. C’est, en revanche, des petits boucles qui sont present. Un autre mécanisme de création de défauts est à la base de ce phénomène. 6 Conclusion Le calcul de la densité des défauts topologiques dans un système en phase condensée nous permettra de mieux comprendre la formation de cordes cosmiques dans l’univers primordial. Dans notre approche, on a considéré une transition de phase de deuxième ordre associé à une brisure de symétrie du groupe U(1), avec comme résultat la formation de défauts topologiques. Notre intérêt principal a été porté sur la question de la densité initiale des défauts parce que celle-ci nous donne les informations cruciales sur le comportement du paramètre d’ordre dans une transition de phase. Selon le scénario de Zurek, qui a proposé des expériences dans le 4He superfluide, l’échelle caractéristique qui détermine la densité de défauts est fixée à l’instant du ralentissement de l’adaptation du champ à des nouveaux paramètres thermodynamiques lors du passage à travers la région de la transition. Pour simplifier nos calculs on a fait la supposition de l’équilibre thermique, bien que le système est en fait hors-équilibre. L’experience de Lancaster a soutenu le scénario de Zurek, mais elle met égalemment en évidence des problèmes supplémentaires qui ne rentrent pas dans le cadre de l’hypothèse de Zurek. Les tourbillons sous-critiques, produits dans les décompressions rapides juste en-dessous de la région de la transition ne peuvent pas être décrits seulement par des fluctuations thermiques. On a démontré ceci par des calculs de la densité et des fonctions de corrélation à deux points. L’hypothèse d’un jet de superfluide provenant du capillaire qui remplit l’enceinte de la cellule de l’expérience peut nous fournir une explication satisfaisante à cette non-adéquation complète. Des modifications ont été éffectuée sur la cellule de l’expérience à Lancaster et il se peut qu’un nouvel essai puisse supprimer l’effet néfaste de ce défaut expérimental. La densité spatiale des tourbillons déduite de l’expérience à Lancaster a confirmé la prédiction de Zurek sur la densité initiale des cordes cosmiques. Cependant, la confirmation expérimentale du mécanisme qui crée des défauts topologiques ne suffit pas à montrer que les cordes cosmiques existent. Pour cela, il faudra les détecter dans l’Univers, par exemple en observant des discontinuités linéaires dans le rayonnement de fond cosmologique, ou en observant les variations de la période de pulsars milisecondes dûes au rayonnement gravitationnel émis par des cordes cosmiques. Appendice [?] Théorème des résidus Soit f une fonction analytique sur une région simplement connexe D, sauf un nombre fini de singularités z1,z2,...,zn sur D. Si C est une courbe simplement connexe et continue par morceaux dans D et qui ne passe pas par les singularités isolées (pôles) z1,z2,...,zn alors, Les séries de Laurent Une fonction analytique peut être représentée par une série de Laurent, sur un anneau r < |z -z0| < R. La partie principale est donné par ∑ i=-∞-1a i(z -z0)i et le résidu à z0 est égal à a-1. série de Laurent pour f(z) avec m pôles. Une formule assez générale pour le calcul des résidus (d’ordre m) est (I(C) est intérieur de la courbe. Res(f,z0) sont les résidus au pôle z0 de f.) Lemme de Jordan Donc, $10^{-34}s$ \footnote{Les d\'efauts topologiques sont de quatre types: d\'efauts ponctuels (monopoles), d\'efauts lin\'eaires (cordes), d\'efauts superficiels ("domain walls"), et finalement les ``textures''.} \footnote{Zel'dovich, Ya.B., Kobzaryev, I.Yu. \& Okun, L.B., {\it Zh. eks. teor. Fiz.} {\bf {67}} (1974)} \footnote{Vilenkin, A., {\it Phys. Rev. Lett.} {\bf{46}}, 1496 (1981)}${}^,$ \footnote{Vilenkin, A., {\it Phys. Rev.}, {\bf {24}}, 2082 (1981)} \footnote{Kibble, T.W.B., {\it J. Phys {\bf {A 9}}}, 1387, (1976)}. ${}^4He$. ${}^4He$ ${}^4He$ $U(1)$ ${}^4He$ \footnote{Kibble, T.W.B., {\it J. Phys {\bf {A 9}}}, 1387, (1976)} en 1976. $ct.$ $2 \pi n,$ $n$ Définisons dorénavant que $2 \pi = \tau.$ \centerline{\includegraphics[width=10cm]{domainii}} \centerline{\caption{Fig. 1 La formation de cordes selon le m\'ecanisme de Kibble.}} $\xi_G$ \`a $T_G \simeq 1.5K$,$T_G$, \cite{Zurek:1991}, $\xi(T_Z)$ \footnote{$T_Z$ est la temperature de Zurek, la temperature \`a laquelle l'adaptation du champ ralenti.} $\tau_Q$ ${}^4 He$ ${}^4 He$ $\lambda$.\footnote{c.f. plus loin.} Pour v\'erifier le sc\'enario de Zurek\footnote{Zurek, W. H., {\it Nature} {\bf 317} 505-508 (1985)}, une exp\'erience \`a \'et\'e mont\'ee a Lancaster University\footnote{Hendry, P.C. et al., {\it Nature} {\bf 368} 315-317 (1994)}. Un \'echantillon d' ${}^4He$ de $10^{-3}\, kg$ de haute puret\'e (pour assurer que les d\'efauts n'\'etaient pas d\^us \`a la nucl\'eation des impuret\'es) \'est plac\'e dans un soufflet fait d'un alliage phosphore-bronze. Le soufflet est comprim\'e et on laisse \'echantillon atteindre l'\'equilibre thermique avant de rel\^acher le soufflet qui se dilate de $4mm$ en $3ms.$ La temp\'erature et la pression sont mesur\'es et la densit\'e de tourbillons est mesur\'ee indirectement par att\'enuation du second son. Le second son est une onde dans laquelle les densit\'es $\rho_n$ (fluide normal) et $\rho_s$ (superfluide) oscillent en opposition de phase, de sorte que leur somme reste constante. Bien que l'exp\'erience de Lancaster a soutenu le sc\'enario de Zurek, il reste des probl\`emes non r\'esolus. L'apparition des tourbillons lors des decompressions rapides dans la phase superfluide, mais juste en-dessous de la transition, est mal comprise et mal expliqu\'ee. On appelle ce ph\'enom\`ene les tourbillons sous-critiques (sous-$T_c$), car ils apparaissent dans une r\'egion du diagramme de phase ou on ne s'attend pas \`a observer la production de tourbillons. Les id\'ees pr\'esent\'ees dans le but de r\'esoudre cette \'enigme des tourbillons sous-critiques devraient \^etre v\'erifi\'ees par de nouvelles exp\'eriences (modifications sur l'exp\'erience \`a Lancaster, exp\'erience semblable \`a Helsinki avec ${}^3 He$). La premi\`ere id\'ee \'etait que la forme m\^eme des parois du soufflet \'etait responsable de la turbulence pendant la d\'ecompression. La deuxi\`eme id\'ee \'etait que les fluctuations thermiques de $\phi$ provoquaient les tourbillons sous-critiques ; malheureusement cette id\'ee fournissait des valeurs miniscules pour la densit\'e des d\'efauts. La troisi\`eme id\'ee, et la plus r\'ecente\footnote{Gill, A. J., Kibble, T.W.B., {\it J. Phys. A: Math. Gen.} {\bf 29}, 4289-4305 (1996)}, est celle des jets du superfluide dans la cellule de l'exp\'erience. Le capillaire qu'on utilise pour remplir la cellule de superfluide doit \^etre long pour assurer l'isolation thermique. Il poss\`ede une valve au bout. Le changement brusque de la pression provoque un jet de fluide du capillaire dans l'\'echantillon. Les fluctuations thermiques \`a leur tour sont amplifi\'ees par le jet, produisant les tourbillons sous-critiques. \section{Mod\`ele de Ginzburg-Landau pour ${}^4He$} \indent L' h\'elium 4 subit une transition de phase \`a la temp\'erature de $T_c=2.18 K$ \cite{Feynman:1972}. C'est une transition de deuxi\`eme ordre aussi appel\'e transition $\lambda$, en raison de l'allure la courbe de la chaleur sp\'ecifique $c_p$ autour de $T_c$. Les propri\'et\'es de HeII sont assez \'etonnantes. La conductivit\'e thermique est infinie, la viscosit\'e est nulle, le liquide ne se condense pas (mais il s'\'evapore), il grimpe les parois d'un capillaire de diam\`etre d\'efini, etc. Pour construire un mod\`ele du superfluide, on utilise la th\'eorie de Ginzburg-Landau des transitions de phase que l'on applique \`a la transition $\lambda$. Le potentiel est donn\'e par \begin{equation}V(\phi,T)=\alpha |\phi|^2 + {\beta \over 2}|\phi|^4,\end{equation} ou $\beta=const.$ et \begin{equation}|\alpha|={{\hbar}^2 \over {2m \xi^2}},\end{equation} avec $\xi=\frac{\xi_0}{|{\varepsilon}|^{\nu}},\,{\varepsilon}=1-{T \over {T_c}}.$ Dans notre cas on choisit $\nu=0.5.$ La variable $\xi$ est la longueur de corr\'elation dans le champ complexe $\phi.$ L'allure de $V(\phi,T)$ est un chapeau mexicain. \centerline{\includegraphics[width=14cm]{bouteille}} \centerline{\caption{Fig. 2 La forme de $V(\phi,T < T_c),$ et le champ d'un d\'efaut.}} Les minima sont calcul\'es \`a partir du minimum de $V(\phi,T)$, $${{\partial V(\phi,T)} \over {\partial |\phi|^2 }}=0, \, \rightarrow \sigma=\sqrt{|\alpha| \over \beta}.$$ A l'\'equilibre thermique $\langle |\phi|^2 \rangle=\phi_0=\sigma.$ La propri\'et\'e qui nous permet de faire des comparaisons entre les transitions de phases dans l'univers primordial (hautes \'energies) et les ph\'enom\`enes dans les syst\`emes en mati\`ere condens\'ee est la propri\'et\'e math\'ematique que ces deux syst\`emes ont en commun: le comportement du param\`etre d'ordre autour de $T_c.$\footnote{Rappelons nous que le champ $\phi$ est aussi appel\'e le ``param\`etre d' ordre''.} Dans la th\'eorie g\'en\'erale des transitions des phases du deuxi\`eme ordre, $\phi$ caract\'erise les propri\'et\'es de sym\'etrie du syst\`eme. Donc, dans notre cas le param\`etre d'ordre $\phi$ est souvent consid\'er\'e comme \'etant la fonction d'onde du condens\'e de Bose: $$\phi=\rho e^{i \theta}.$$ Le m\'ecanisme de Kibble concerne le champ de Higgs $\Phi,$ qui est l'analogue \`a l'\'echelle cosmologique du param\`etre d'ordre $\phi.$ Le lagrangien pour $\phi$ s'obtient en ajoutant des termes cin\'etiques aux termes de l' \'energie potentielle: \begin{equation}{\cal L}={{\hbar}^2 \over {2m}} ( {\bf {\nabla}} \phi^*) ({\bf {\nabla}} \phi)-(\alpha |\phi|^2 + \frac{\beta}{2} |\phi|^4),\end{equation} ou $m$ est la masse de ${}^4He$. La densit\'e du superfluide \'etant donn\'ee par $\rho_s= m |\phi|^2 .$ Les \'equations de Euler-Lagrange nous fournissent les \'equations de mouvements pour $\phi$: \begin{equation}{{\partial {\cal L}} \over \partial \phi} - {\bf {\nabla}} ({{\partial {\cal L}} \over {\partial {\bf {\nabla}} \phi}})=0.\end{equation} Ceci donne comme r\'esultat $${{\partial {\cal L}}\over \partial \phi}=\alpha \phi + \beta |\phi|^2 \phi $$ et $${\bf {\nabla}} {{\partial {\cal L}} \over {{\bf {\nabla}} \phi}}={{\hbar}^2 \over 2m } \nabla^2 \phi.$$ L'\'equation obtenue est: \begin{equation}{-{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi + (\alpha + \beta |\phi|^2 )\phi=0,\end{equation} que l'on peut aussi \'ecrire \begin{equation}{-{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi + {{\partial V(\phi,T)} \over {\partial |\phi|^2 }} \phi=0.\end{equation} Une propri\'et\'e du ${}^4He$ au dessous de $T_c$ est que dans certaines r\'egions, coexiste un m\'elange d'\'etat normal (HeI) et superfluide (HeII). Ceci donne lieu \`a un mouvement dans la partie superfluide; plus pr\'ecis\'ement, d\^u au fait que la phase $\theta$ change dans la partie superfluide, on a une vitesse $v_s={\hbar \over m} {\bf \nabla}\theta,$ avec \'energie cin\'etique du tourbillon $T={1 \over 2} \rho_s v_s^2.$ On peut aussi dire que le terme $\nabla^2 \phi$ fait en sorte de ``bouger'' le champ pour maintenir $\theta$ constant. \section{Le comptage des d\'efauts} \indent L'approximation du champ moyen (Gaussien ou Hartree)nous donne que $$\phi^3=|\phi|^2 \phi=3\langle |\phi|^2 \rangle \phi=-3 \alpha \beta^{-1} \phi.$$ L'\'equation du mouvement s'\'ecrit donc: $$-{{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi +\alpha \phi +\beta (-3 \alpha \beta^{-1}) \phi = 0,$$ ou bien $$(-\nabla^2 + {{4 m \alpha} \over \hbar^2}) \phi = 0.$$ On pose que \begin{equation}\lambda^2={{4 m \alpha} \over \hbar^2}\end{equation} et on obtient une \'equation aux valeurs propres \begin{equation}\nabla^2 \phi = \lambda^2 \phi.\end{equation} La densit\'e des cordes en champ Gaussien est donn\'ee comme \begin{equation} \langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} \left| \frac{G^{\prime \prime}(r=0)}{G(r=0)} \right| \end{equation} ou $G(r)$ est la solution de l'\'equation aux valeurs propres. La fonction de Green $G(r)$ s'obtient en calculant la transform\'ee de la fonction de Green, ${\widehat G}(k)$. Pour faire ceci on fait subir \'a l'\'equation aux valeurs propres une transform\'ee de Fourrier: \begin{equation}{1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{-\infty}^{+\infty} (\nabla^2 \phi ({\bf {r}}))e^{i {\bf {k}} \, {\bf {r}}} d^3x = {\lambda^2 \over (\sqrt{2 \pi})^3} \int_{-\infty}^{\infty} \phi ({\bf {r}})e^{i {\bf {k}} {\bf {r}}} d^3x.\end{equation} L'int\'egrale \`a droite de l'\'egalit\'e est simplement ${\widehat \phi} ({\bf k}).$ Pour calculer la partie gauche on \'etudie d'abord l'analogue en une dimension: $${1 \over {\sqrt{2 \pi}}}\int_{-\infty}^{+\infty}{{d^2 \phi (x)} \over {dx^2}}e^{i k x}dx=\left[ {{d \phi (x)} \over {dx}} - ik \phi (x) \right]e^{i k x}\Bigg |_{-\infty}^{+\infty} -k^2 {\widehat \phi}(k)$$ La fonction $\phi(x)$ est \`a d\'ecroissance rapide, donc les premiers termes s'annulent aux bords (\`a $\pm \infty$), ce qui ne laisse que le terme $-k^2 {\widehat \phi}(k).$ Dans le cas tridimensionnel l'\'equation (10) devient: $$-{\bf k}^2 {\widehat \phi}({\bf k})=\lambda^2 {\widehat \phi}({\bf k})$$ $$({\bf k}^2+\lambda^2){\widehat \phi}({\bf k})=0.$$ En termes de fonctions de Green: $$(-\nabla^2 + \lambda^2)G(\bf{r})=\delta(\bf{r})$$ $$({\bf k}^2+\lambda^2){\widehat G}({\bf k})=1$$ La fonction de Green, \begin{equation}{\widehat G}({\bf k})={1 \over {{\bf{k}}^2+\lambda^2}},\end{equation} nous donne, \begin{equation}G({\bf {r}})={1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- i {\bf {k}} {\bf {r}}}}{{\bf {k}}^2+\lambda^2} d^3k.\end{equation} Pour calculer cette int\'egrale on utilise la sym\'etrie du vecteur ${\bf k}$ (une fois ${\bf r}$ fix\'e le long de l'axe z) pour d\'eduire que: $$G(r)={1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{0}^{\infty} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} {e^{- i k r \cos \theta} \over {k^2+\lambda^2}}k^2 \sin \theta \, d\theta \, d\varphi \, dk ,$$ $$G(r)={1 \over {\sqrt{2 \pi}}} \int_{0}^{\infty}{k^2 \over {k^2+\lambda^2}}\left[ \int_0^{\pi} e^{- i k r \cos \theta}d(\cos\theta) \right]dk,$$ $$G(r)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)dk.$$ Cette int\'egrale est donn\'ee dans les tables \cite{Abram:1972} comme \'egale \`a: \begin{equation}G(r)={\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{e^{-\lambda r} \over r}.\end{equation} Pour trouver la densit\'e de d\'efauts on calcule la deuxi\`eme d\'eriv\'ee, $$G^{\prime}(r)=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-\lambda r}}{r}(\lambda + \frac{1}{r}),$$ $$G^{\prime \prime}(r)= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[ \frac{e^{-\lambda r}}{r} (\lambda^2 + {{2 \lambda} \over r^2} + {2 \over r^3})\right].$$ On obtient donc la solution pour cette densit\'e de cordes: \begin{equation}\langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} \left| \frac{G^{\prime \prime}(r=0)}{G(r=0)} \right|={\frac{1}{2 \pi}} \left({\lambda^2+{{2 \lambda^2} \over r} +{{2 \lambda} \over r^2} }\right ) \Bigg | _{r=0} .\end{equation} Il est \'evident que les deux derniers termes divergent en $r=0.$ Il s'agit de discuter plus en d\'etail ce probl\`eme de divergence. En faisant une simple analogie avec la m\'et\'eorologie, on peut comparer notre \'echantillon de ${}^4 He$ qui subit une transition de phase avec formation de tourbillons dans un cyclone tropical. Dans ces cyclones une importante masse nuageuse se forme en bandes spirales enroul\'ees autour d'un centre: l'oeil du cyclone. Les propri\'et\'es (dynamiques et thermodynamiques) des cyclones sont distribu\'ees asym\'etriqument autour du tourbillon central et ceci provoque un mouvement tourbillonnaire de l'air. L'oeil peut \^etre compar\'e \`a notre corde. A l'int\'erieur de la masse nuageuse on peut avoir des mini-cyclones (structures qui, sur une \'echelle plus petite, imitent le cyclone entier) qui apparaissent et disparaissent. Remarquons que sur les photos satellites, dont l'\'echelle est la longueur de coh\'erence de structures, on n'observe qu'une grande formation, le cyclone lui-m\^eme, et pas les petits mini-cyclones. Autrement dit, pour pouvoir calculer une densit\'e de cordes valable par \'el\'ement de volume ($k^2 \sin \theta \, d\theta \, d\varphi \, dk $) on doit tenir compte de la longueur de coh\'erence des structures. Il faut n\'egliger les structures plus petites que la longueur de corr\'elation $\xi$; on pr\'ef\`ere ne compter que les tourbillons coh\'erents qui persistent, et non pas les fluctuations de petite \'echelle. Dans notre int\'egrale ceci veut dire que les valeurs de k ne doivent pas \^etre trop grandes, donc $k < \frac{1}{\xi}.$ Math\'ematiquement ceci veut dire que l'\'el\'ement de volume augmente avec les valeurs de $k$ grandes. Il faut donc consid\'erer une nouvelle approche. On va d'abord discuter du caract\`ere de cette int\'egrale. Au lieu de calculer analytiquement $G(r)$ pour ensuite ins\'erer le r\'esultat dans la formule pour $\langle n \rangle$, on ins\`ere directement l'int\'egrale dans la formule en faisant tendre $r$ vers $0$: $$G(r=0)=\lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)dk.$$ Il faut encore introduire la notion du ``smoothing'', une fonction qui va limiter les valeurs de $k$ \`a des valeurs qui ne d\'epassent pas $k < \frac{1}{\xi}.$ La question se pose: comment faire un ``smoothing'' satisfaisant? On essaye avec une fonction exponentielle de carr\'e d\'ecroissante (gaussienne), $e^{-(k \xi)^2}$: $$\tilde{G}(r=0)_{k<\frac{1}\xi}=\lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk.$$ Ceci va nous donner l'expression suivante pour la densit\'e des d\'efauts: $$\langle n \rangle={\Bigg |} \frac{\lim_{r \rightarrow 0} {\frac{d^2}{dr^2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk }{ \lim_{r \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk} {\Bigg |}.$$ Pour r\'esoudre notre int\'egrale on utilise des m\'ethodes de l'analyse complexe.\footnote{c.f. appendice.} Tout d'abord on remarque que le num\'erateur est compos\'e de deux fonctions impaires ($k$ et $sin(k r)$) et d'une fonction paire $e^{-(k \xi)^2}$. Le num\'erateur est donc pair et on peut \'ecrire: $$\int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk.$$ D\'efinissons $$f(z)=\frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)},$$ avec $z=R e^{i \phi},$ un nombre complexe. A la fin des calculs on ne prend que la partie imaginaire du r\'esultat car $e^{i r z}=\cos(r z)+i\sin(r z).$ On applique \`a pr\'esent ces m\'ethodes \`a notre int\'egrale, qui est maintenant de la forme: $$I_C= \frac{1}{2} \int_C \frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}\,dz.$$ Le contour $C$ qu'on choisi est le demi-cercle sup\'erieur $\gamma$ (qui entoure la singularit\'e $z_0=i\lambda$) et l'axe $x$ de $-R$ \`a $R$. On va nommer ces deux int\'egrales $I_\gamma$ et $I_R.$ $$I_C=I_R+I_\gamma=\frac{1}{2} \int_C \frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}\,dz.$$ $I_C=\frac{1}{2} 2 \pi i Res (f,z_0=i \lambda)$ par le th\'eor\`eme des r\'esidus. $$Res (f,z_0=i \lambda)=\lim_{z \rightarrow i\lambda} (z-i\lambda)\frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}=\frac{1}{2}e^{\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$ Donc, $$I_C=i \frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$ Le calcul de $I_R$ est simple maintenant; il suffit de montrer que $I_\gamma$ tend vers $0$ pour $\pm R \rightarrow \infty,$ ce qu'on d\'emontre dans l'appendice avec l'aide du lemme de Jordan. Voil\`a nous sommes arriv\'es \`a notre r\'esultat pour la fonction de Green ``lisse'' (``smooth''): $$\tilde{G}(r)=\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$ Avec cette nouvelle valeur pour $G(r)$ qu'on a not\'e $\tilde{G}(r)$, on refait le calcul pour la densit\'e des d\'efauts. $$\tilde{G}^{\prime \prime}(r)={\lambda}^2 \tilde{G}(r),$$ $$\langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} {\Bigg |} \frac{\tilde{G}^{\prime \prime}(r=0)}{\tilde{G}(r=0)} {\Bigg |} =\frac{1}{2 \pi}{\Bigg |}\lambda^2 \frac{\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}}{\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}} {\Bigg|}=\frac{1}{2 \pi} |\lambda^2|.$$ Quelle surprise! C'est en fait le seul terme non-divergent dans notre \'equation pr\'ec\'edente. Les termes en $\frac{1}{r}$ et $\frac{1}{r^2}$ ont disparu. $$\langle n \rangle=\frac{1}{\pi \xi_0^2} {\Bigg|} 1-\frac{T}{T_c} {\Bigg|}=\frac{1}{\pi \xi_0^2}|\epsilon|.$$ Si on prend $\xi_0=5,6$ \AA , $\epsilon_Z=3 \times10^{-3}$ (la valeur \`a $T_Z$ obtenue par le groupe de Lancaster) et $\pi=3.14$ la valeur approximative est $$\langle n \rangle \simeq 10^{15}\,\,m^{-2},$$ ce qui donne un d\'efaut par $10^{-15}\,\,m^2.$ La prediction de Kibble \'etait $$\langle n \rangle=\frac{1}{\xi_0^2}$$ ce qui diff\`ere de notre valeur \`a $T=0K$ de $\frac{1}{\pi}.$ La limite inf\'erieure obtenue par le groupe de Lancaster est: $$\langle n \rangle \geq 10^{11}\,\,m^{-2}.$$ \section{Corr\'elation des d\'efauts} \indent Les fonctions de corr\'elation de la densit\'e de d\'efauts peuvent nous donner des informations sur la longueur des tourbillons sous-critiques. Plus pr\'ecisement, selon le m\'ecanisme de Kibble, les tourbillons sous-critiques peuvent \^etre g\'en\'er\'es apr\`es des fluctuations thermiques. Les r\'esultats de nos calculs doivent nous dissuader de cette id\'ee car l'exp\'erience de Lancaster montre que l'existence des d\'efauts d'une grande longueur est peu probable dans les r\'egions sous-critiques, donc ce ne sont pas les fluctuations thermiques qui sont \`a la base des tourbillons sous-critiques. Les \'el\'ements de matrice de la fonction de corr\'elation sont donn\'e par l'expression suivante: \begin{equation}G_{i\,j}({\bf {r}},t)=_t=G_L({\bf{r}},t){\bf {r}}_i{\bf {r}}_j+G_T({\bf {r}},t)(\delta_{i\,j}-{\bf {r}}_i{\bf {r}}_j)\end{equation} Les deux termes $G_L$ (corr\'elations longitudinales) et $G_T$ (corr\'elations transversales) sont calcul\'e \`a partir d'une fonction $h$ telle que, $$h(r)=-\frac{1}{2 \pi} \frac{\tilde{G}^{\prime}(r)}{\sqrt{\tilde{G}^2(0)-\tilde{G}^2}}=\frac{\lambda}{2 \pi} \frac{e^{-\lambda r}}{\sqrt{1^-e^{-\lambda r}}},$$ $$\tilde{G}(0)=\frac{\pi}{2} e^{(\lambda \xi)^2}=C(T).$$ $$\tilde{G}^\prime(r)=-\lambda \tilde{G}(r).$$ Les r\'esultats pour nos composantes longitudinales et transversales de la fonction de corr\'elation en deux points sont donn\'es ci-dessous. $$G_L(r)=n ! {\Bigg (} \frac{h}{r} {\Bigg )}^n = \frac{\lambda^2} {2 \pi ^2 r^2} \frac{e^{-2 \lambda r}} {1-e^{-2\lambda r}},$$ $$G_T(r)=n ! {\Bigg (} \frac{h}{r} {\Bigg )}^{n-1} \frac{\partial h}{\partial r}=-\frac{\lambda^3}{2 \pi ^2 r}\frac{e^{-2 \lambda r}}{(1-e^{-2 \lambda r})^2}.$$ $G_L$ nous donne la longueur caract\'eristique des segments lin\'eaires des tourbillons. Une valeur n\'egative de $G_L$ indique la pr\'esence d'une paire de tourbillon-antitourbillon \`a une distance $r$ l'un de l'autre. $G_T$ nous donne la probabilit\'e qu'il existe un tourbillon (ou antitourbillon) dans la m\^eme direction \`a une distance $r.$ Il faut tout de suite remarquer que toute valeur de $G_L$ et $G_T$ calcul\'ee pour $r<\xi$ ne devrait pas \^etre prise en compte, pour la m\^eme raison qu'auparavant.\footnote{c.f. page 9.} Pour mieux comprendre l'utilit\'e de ces fonctions de corr\'elation, il suffit de remarquer que si on divise $G_T$ par $\langle n \rangle^2$ on obtient la probabilit\'e de trouver un autre tourbillon \`a la distance $r.$ Celle-ci est de signe n\'egatif, ce qui signifie un antitourbillon (un tourbillon avec une rotation en sens inverse). $$P(tourbillon,r)=-\frac{\lambda^3}{2 \pi ^2 r}\frac{e^{-2 \lambda r}}{(1-e^{-2 \lambda r})^2}\, \frac{4 \pi^2}{\lambda^4}=-\frac{2 e^{-2 \lambda r}}{\lambda r (1-e^{-2\lambda r})^2}.$$ La probabilit\'e de trouver un tourbillon par longueur de corr\'elation $\xi$ est donn\'ee dans l'estimation suivante (${\xi}^2=\frac{2}{\lambda^2}$): $$P(tourbillon, r=\xi)=-\frac{2 e^{-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}(1-e^{-2\sqrt{2}})^2} \approx -0.1$$ La densit\'e de d\'efauts n'est donc pas tr\`es grande, car il n'existe que des tourbillons de la dimension de la longeur de corr\'elation, et il n'appara\^{\i}t qu'un tourbillon par trois domaines de taille $\xi.$ Pour calculer la probabilit\'e de l'\'echelle \`a laquelle les tourbillons d\'evient, on divise $G_L$ par $\langle n \rangle^2:$ $$P(deviation)\approx 1.$$ Le tourbillon d\'evie sur une \'echelle de la dimension $\xi(T).$ De ces r\'esultats, on peut conclure que la production de tourbillons lors d'une d\'ecompression dans une r\'egion l\'eg\`erement en-dessous de la transition (sous-critique) n'est pas d\^ue \`a des effets de fluctuation thermique. La densit\'e de tourbillons produits par les fluctuations thermiques serait inferieure \`a la densit\'e observ\'ee. Le fait que la longueur caract\'eristique des tourbillons est de l'ordre $\xi$ nous indique qu'il n y a plus d'enchev\`etrement des tourbillons. C'est, en revanche, des petits boucles qui sont present. Un autre m\'ecanisme de cr\'eation de d\'efauts est \`a la base de ce ph\'enom\`ene. \section{Conclusion} \indent Le calcul de la densit\'e des d\'efauts topologiques dans un syst\`eme en phase condens\'ee nous permettra de mieux comprendre la formation de cordes cosmiques dans l'univers primordial. Dans notre approche, on a consid\'er\'e une transition de phase de deuxi\`eme ordre associ\'e \`a une brisure de sym\'etrie du groupe $U(1)$, avec comme r\'esultat la formation de d\'efauts topologiques. Notre int\'er\^et principal a \'et\'e port\'e sur la question de la densit\'e initiale des d\'efauts parce que celle-ci nous donne les informations cruciales sur le comportement du param\`etre d'ordre dans une transition de phase. Selon le sc\'enario de Zurek, qui a propos\'e des exp\'eriences dans le ${}^4He$ superfluide, l'\'echelle caract\'eristique qui d\'etermine la densit\'e de d\'efauts est fix\'ee \`a l'instant du ralentissement de l'adaptation du champ \`a des nouveaux param\`etres thermodynamiques lors du passage \`a travers la r\'egion de la transition. Pour simplifier nos calculs on a fait la supposition de l'\'equilibre thermique, bien que le syst\`eme est en fait hors-\'equilibre. L'experience de Lancaster a soutenu le sc\'enario de Zurek, mais elle met \'egalemment en \'evidence des probl\`emes suppl\'ementaires qui ne rentrent pas dans le cadre de l'hypoth\`ese de Zurek. Les tourbillons sous-critiques, produits dans les d\'ecompressions rapides juste en-dessous de la r\'egion de la transition ne peuvent pas \^etre d\'ecrits seulement par des fluctuations thermiques. On a d\'emontr\'e ceci par des calculs de la densit\'e et des fonctions de corr\'elation \`a deux points. L'hypoth\`ese d'un jet de superfluide provenant du capillaire qui remplit l'enceinte de la cellule de l'exp\'erience peut nous fournir une explication satisfaisante \`a cette non-ad\'equation compl\`ete. Des modifications ont \'et\'e \'effectu\'ee sur la cellule de l'exp\'erience \`a Lancaster et il se peut qu'un nouvel essai puisse supprimer l'effet n\'efaste de ce d\'efaut exp\'erimental. La densit\'e spatiale des tourbillons d\'eduite de l'exp\'erience \`a Lancaster a confirm\'e la pr\'ediction de Zurek sur la densit\'e initiale des cordes cosmiques. Cependant, la confirmation exp\'erimentale du m\'ecanisme qui cr\'ee des d\'efauts topologiques ne suffit pas \`a montrer que les cordes cosmiques existent. Pour cela, il faudra les d\'etecter dans l'Univers, par exemple en observant des discontinuit\'es lin\'eaires dans le rayonnement de fond cosmologique, ou en observant les variations de la p\'eriode de pulsars milisecondes d\^ues au rayonnement gravitationnel \'emis par des cordes cosmiques. \newpage \section*{Appendice~\cite{Fisher:1990}} \underline{Th\'eor\`eme des r\'esidus} Soit f une fonction analytique sur une r\'egion simplement connexe $D$, sauf un nombre fini de singularit\'es $z_1,z_2,...,z_n$ sur $D.$ Si $C$ est une courbe simplement connexe et continue par morceaux dans $D$ et qui ne passe pas par les singularit\'es isol\'ees (p\^oles) $z_1,z_2,...,z_n$ alors, $$\int_C f(z)\,dz= 2 \pi i \sum_{z_0 \epsilon I(C)}Res (f,z_0).$$ \noindent \underline{Les s\'eries de Laurent} Une fonction analytique peut \^etre repr\'esent\'ee par une s\'erie de Laurent, $$f(z)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_i (z-z_0)^i,$$ sur un anneau $r$<$|z-z_0|$<$R$. La partie principale est donn\'e par $\sum_{i=-\infty}^{-1}a_i (z-z_0)^i$ et le r\'esidu \`a $z_0$ est \'egal \`a $a_{-1}.$ $$f(z)=\frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m}+...+\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+a_0+a_1(z-z_0)+...,$$ s\'erie de Laurent pour $f(z)$ avec m p\^oles. Une formule assez g\'en\'erale pour le calcul des r\'esidus (d'ordre m) est $$Res(f,z_0)=\lim_{z \rightarrow z_0} (z-z_0)^m f(z).$$ ($I(C)$ est int\'erieur de la courbe. $Res (f,z_0)$ sont les r\'esidus au p\^ole $z_0$ de $f.$)\\ \noindent \underline{Lemme de Jordan} $$I_\gamma=\int_{0}^{\pi} f(R e^{i \phi})R e^{i \phi} \, d\phi,$$ $${\Bigg |} \int_0^\pi f(R e^{i\phi})R e^{i\phi}\,d\phi {\Bigg |} \leq R \int_0^\pi |f(R e^{i\phi})| d\phi,$$ $${\Bigg |} \int_0^\pi f(R e^{i\phi})R e^{i\phi}\,d\phi {\Bigg |} \leq R \int_0^\pi \frac{R e^{-r R \sin(\phi)} e^{-R^2 \cos(2\phi) \xi^2}}{R^2-\lambda^2}\,d\phi \stackrel{R \rightarrow \infty}{\longrightarrow 0}.$$ Donc, $$\lim_{R \rightarrow \infty} I_\gamma=0.$$